Question

某新設備M在第1年可以生產價值120萬元的產品，在使用過程中，由于設備老化及維修原因使得M的生產能力逐年減少，從第2年到第6年，每年M生產的產品價值比上年減少10萬元；從第7年開始，每年M生產的產品價值為上年的75%．
（I）求第n年M生產的產品價值a_n的表達式；
（II）該設備M從購買回來后馬上使用，則連續正常使用10年可以生產多少價值的產品？

Answer 1

【答案】分析：（I）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列；當n≥7時，數列{a_n}是首項為a₆，公比為的等比數列，故可求第n年M生產的產品價值a_n的表達式；
（II）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差及等比數列的求和公式得
當1≤n≤6時，（8分）
當n≥7時，，從而可求連續正常使用10年可以生產多少價值的產品．
解答：解：（I）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列，a_n=120-10（n-1）=130-10n；
當n≥7時，數列{a_n}是首項為a₆，公比為的等比數列，又a₆=70，∴
∴第n年M生產的產品價值a_n的表達式為；
（II）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差及等比數列的求和公式得
當1≤n≤6時，（8分）
當n≥7時，（10分）
所以，萬元（12分）
點評：本題以實際問題為載體，考查數列模型的構建，考查數列的通項及求和公式的運用，解題的關鍵是構建等差數列、等比數列模型．