Question

求函數(shù)f（x）=(

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)2x-x2的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=(

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)2x-x2的定義域為R；令t=2x-x²，則y=f（x）=(

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)t，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）=(

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)2x-x2的值域和單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)f（x）=(

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)2x-x2的定義域為R；
令t=2x-x²，則y=f（x）=(

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)t，
∵t=2x-x²∈（-∞，1]，
∴y=f（x）=(

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2

)t∈[

1

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，+∞），
即函數(shù)f（x）=(

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)2x-x2的值域為[

1

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，+∞），
∵t=2x-x²在（-∞，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，
y=(

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)t為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=(

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2

)2x-x2的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的值域及單調(diào)性，難度中檔．