Question

已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求證：
（1）A、B兩點的橫坐標之積為定值；
（2）直線AB經過定點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）OA⊥OB時，設直線AB：x=my+n，代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，即可證明A、B兩點的橫坐標之積為定值；
（2）由（1）知，直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．

解答： 證明：（1）OA⊥OB時，設直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴x₁x₂=4p²；
（2）由（1）知，直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．

點評：本題考查拋物線方程，考查學生的計算能力，考查直線與拋物線的位置關系，比較基礎．