Question

某大學的四位學生參加了志愿者活動，他們從甲、乙、丙三個比賽項目中，任選一項進行志愿者服務，每個項目允許有多人服務，假設每位學生選擇哪項是等可能的．
（1）求這四位學生中至少有一位選擇甲項目的概率；
（2）用隨機變量ξ表示四位學生選擇丙項目的人數，求其分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：應用題,概率與統計

分析：（1）利用對立事件，即可求得結論；
（2）確定隨機變量ξ的可能取值，求出相應的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）由題意，四位學生中至少有一位選擇甲項目的概率為1-

24

34

=

65

81

；
（2）隨機變量ξ=0，1，2，3，4，則
P（ξ=0）=

24

34

=

16

81

，P（ξ=1）=

4×23

34

=

32

81

，P（ξ=2）=

C 2 4 ×22

34

=

24

81

，P（ξ=3）=

C 3 4 ×2

34

=

8

81

，P（ξ=4）=

1

81

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，正確求概率是關鍵．