Question

已知直角梯形PDCB中（如圖1），PD=2，DC=BC=1，A為PD的中點，
將△PAB沿AB折起，使面PAB⊥面ABCD（如圖2），點F在線段PD上，PF=2FD．
（1）求異面直線BP與CF所成角的余弦值；
（2）求二面角D-AC-F的余弦值；
（3）在四棱錐P-ABCD的棱PC上是否存在一點E，使得BE∥平面AFC，若存在，求出E點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥AB，從而PA⊥面ABCD，以A為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BP與CF所成角的余弦值．
（2）由已知，得

AP

=(0，0，1)為平面ACD的法向量，求出平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的余弦值．
（3）法一：連接BD，交AC于O，取PF中點G，連BG，EG，FO，由已知得EG∥FC，OF∥BG，從而得到BE∥平面AFC．
（3）法二：假設在四棱錐P-ABCD的棱PC上存在一點E，使得BE∥平面AFC，設CE=λCP，由

BE

=

BC

+

CE

，得

BE

=（-λ，1-λ，λ），由此利用向量法能推導出存在PC的中點E，使得BE∥平面AFC．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）依題意知：PA⊥AB．
又∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PA?面PAB，
∴PA⊥面ABCD．…（2分）
又∵AD⊥AB．∴以A為原點，建立如圖所示的坐標系，…（3分）
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）．…（4分）
由于

PF

=2

FD

，
∴

AF

=

AP

+

2

3

PD

=(0，0，1)+(0，

2

3

，-

2

3

)=(0，

2

3

，

1

3

)，
即F(0，

2

3

，

1

3

)．…（5分）
∴

BP

=(-1，0，1)，

CF

=(-1，-

1

3

，

1

3

)．
∴cos＜

BP

，  

CF

＞=

BP • CF

|BP |•| CF |

=

4 3

2 • 11 9

=

2 22

11

．…（6分）
（2）由已知，得

AP

=(0，0，1)為平面ACD的法向量．…（7分）
設平面AFC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AC =0 n • AF =0

，即

x+y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，…（8分）
令z=2，則x=1，y=-1，即

n

=(1，-1，2)．…（9分）
二面角D-AC-F的平面角為θ，
則cosθ=

n • AP

| n || AP |

=

2

6

=

6

3

．…（10分）
（3）方法一：存在PC的中點E，使得：BE∥平面AFC，
證明如下：
連接BD，交AC于O，取PF中點G，連BG，EG，FO．
在△PCF中，E，G分別為PC，PF中點，則EG∥FC．…（11分）
在△BDG中，O，F分別為BD，DG中點，則OF∥BG．…（12分）
所以平面BEG∥平面FAC．
又BE?平面BEG，
所以BE∥平面AFC．…（14分）
方法二：假設在四棱錐P-ABCD的棱PC上存在一點E，使得BE∥平面AFC，
不妨設：CE=λCP，…（11分）
由

BE

=

BC

+

CE

，得

BE

=（-λ，1-λ，λ）．…（12分）
由（2）知平面AFC的法向量

n

=(1，-1，2)，
由

BE

•

n

=0得λ=

1

2

．…（13分）
故存在PC的中點E，使得BE∥平面AFC．…（14分）

點評：本題考查異面直線BP與CF所成角的余弦值的求法，考查二面角D-AC-F的余弦值的求法，考查在四棱錐P-ABCD的棱PC上是否存在一點E，使得BE∥平面AFC的判斷與證明，解題時要注意空間思維能力的培養．