Question

已知P是以F₁，F₂為焦點的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一點，若∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，則此橢圓的離心率可以為（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  2

  4

• D、

  5

  7

  ，或

  5

  15

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件可得，sinα，cos（α+β），sinβ，在△PF₁F₂中由正弦定理可得出|PF₁|，|PF₂|的關系，若設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則可得到m，n的關系，根據橢圓的定義m+n=2a，所以可用a表示m，n．而根據余弦定理即可得到a，c的關系，這樣既可得到關于離心率e的方程，解方程即得離心率的值．

解答： 解：∵cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

；
∴sinα=

2 5

5

，cos（α+β）=±

4

5

；
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

3

5

•

5

5

+

4

5

•

2 5

5

=

11 5

25

，或

3

5

•

5

5

-

4

5

•

2 5

5

＜0（舍去）；
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則由正弦定理得：

m

sinβ

=

n

sinα

；
∴m=

sinβ

sinα

•n=

11 5 25

2 5 5

•n=

11n

10

；
∵m+n=2a；
∴m=

22a

21

，n=

20a

21

；
∴由余弦定理得：(

20a

21

)2=(

22a

21

)2+4c2-

88ac

21

•

5

5

；
整理得：21e2-

22 5

5

e+1=0；
解得e=

5

7

，或

5

15

．
故選D．

點評：考查兩角差的正弦公式，以及正弦定理，余弦定理，橢圓的標準方程，橢圓的定義，橢圓離心率的概念．