Question

已知橢圓+=1(a>b>0),點(diǎn)P（a,a）在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.

Answer 1

(1)    (2) k=±

解析解:(1)∵點(diǎn)P（a,a）在橢圓上,
∴+=1整理得=.
∴e==
=
==
=.
(2)由題意可知,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-a,0),|AO|=a.
設(shè)直線OQ的斜率為k,
則其方程為y=kx,
設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x₀,y₀).
則
消去y₀,整理得=①
由|AQ|=|AO|得(x₀+a)²+k²=a².
整理得(1+k²2ax₀=0.
由于x₀≠0,
得x₀=-.②
把②代入①得=,
整理得(1+k²)²=4k²·+4.
由(1)知=,
故(1+k²)²=k²+4,
即5k⁴-22k²-15=0,
解得k²=5.
∴直線OQ的斜率k=±.