Question

求下列冪函數的定義域，并指出其奇偶性、單調性．

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝x^－2．

問題1：觀察以上函數的解析式，你能發現解析式中對于自變量x都有哪些限制條件嗎？

問題2：如何來判斷函數的奇偶性呢？

3．探究：請同學們根據我們以上的分析，把上述函數圖象的大概形狀畫出來．并總結歸納冪函數的指數變化時對冪函數定義域的影響．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)函數y＝即y＝，其定義域為[0，＋∞)，所以它既不是奇函數也不是偶函數，在(0，＋∞)上單調遞增．

　　(2)函數y＝即y＝，其定義域為R，是偶函數，它在區間(0，＋∞)上單調遞增，在區間(－∞，0)上單調遞減．

　　(3)函數y＝即y＝，由x³＞0得其定義域為(0，＋∞)，所以它既不是奇函數也不是偶函數，在(0，＋∞)上單調遞減．

　　(4)函數y＝x^－2即y＝，由x²≠0得其定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此函數y＝x^－2在定義域上是偶函數，在區間(－∞，0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減．

　　3．(1)α∈N₊時，x∈R；

　　(2)α∈Z且α≤0時，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；

　　(3)α＝(其中m，n互質，且m，n∈N₊)時，若m是偶數，則x∈{非負實數}，若m是奇數，則x∈R．

　　(4)α＝－(其中m，n互質，且m，n∈N₊)時，若m是偶數，則x∈{正實數}，若m是奇數，則x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．

　　點評：這兩個變式考查了冪函數的定義和冪函數圖象特征的綜合應用，尤其是冪指數的值對冪函數的單調性以及奇偶性的影響，這是學生在充分掌握冪函數的圖象和性質的基礎上才能解決的問題．

提示：

　　1．結論：在函數解析式中含有分數指數時，可以把它們的解析式化成根式，根據“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數的定義域；當函數的解析式的冪指數為負數時，根據負指數冪的意義將其轉化為分式形式，根據“分式的分母不能為0”這一限制條件來求出對應函數的定義域．

　　2．結論：首先要看函數的定義域是否關于數0對稱，然后根據定義域內的任意自變量x是否有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)來進行判斷．