Question

我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：
①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在函數的定義域內存在區間[p，q]（p＜q），使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
（1）已知冪函數f（x）的圖象經過點（2，2），判斷g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和諧函數？
（2）判斷函數h(x)=

1-x2(x≥1) 2-2x(x＜1)

是否是和諧函數？
（3）若函數φ(x)=

x2-1

+t(1≤x≤

6

2

)是和諧函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數f（x）的圖象經過點（2，2），求出函數的表達式，然后判斷g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和諧函數．
（2）直接利用新定義，判斷函數h(x)=

1-x2(x≥1) 2-2x(x＜1)

是否滿足和諧函數的定義，即可推出結果；
（3）利用新定義，函數φ(x)=

x2-1

+t(1≤x≤

6

2

)是和諧函數，推出關系式即可求實數t的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=x^α（α∈R），由f（2）=2^α=2，得α=1，f（x）=x，g（x）=x+2在R上是增函數，
令

g(p)=p+2=p2 g(q)=q+2=q2

(p＜q)，得p=-1，q=2
故g（x）=f（x）+2是和諧函數．                  …（4分）
（2）易得h（x）為R上的減函數，
①若p＜q＜1則

h(p)=2-2p=q2 h(q)=2-2q=p2

，相減得p+q=2與p＜q＜1矛盾；
②若1≤p＜q則

h(p)=1-p2=q2 h(q)=1-q2=p2

，p²+q²=1與1≤p＜q矛盾；
③若p＜1≤q則

h(p)=2-2p=q2 h(q)=1-q2=p2

，p=1與p＜1矛盾．
故h（x）不是和諧函數．                …（8分）
（3）φ(x)=

x2-1

+t在[1，

6

2

]上是增函數，
由函數φ(x)=

x2-1

+t(1≤x≤

6

2

)是和諧函數知，
函數φ（x）在[1，

6

2

]內存在區間[p，q]（p＜q），使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
∴

φ(p)= p2-1 +t=p2 φ(q)= q2-1 +t=q2

∴p2，q2(1≤p2＜q2≤

3

2

)是方程

m-1

+t=m在區間[1，

3

2

]內的兩個不等實根
?x²-x+1-t=0在區間[0，

2

2

]內的兩個不等實根，
(令

m-1

=x)?

△=1-4(1-t)＞0 0＜ 1 2 ＜ 2 2 1-t≥0 1 2 - 2 2 +1-t≥0

?t∈(

3

4

，

3- 2

2

]…（12分）

點評：本題考查新定義的理解以及應用，考查函數與方程的關系，函數的單調性與函數的定義域與函數的值域的綜合應用．