Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓上頂點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為、.直線且交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)E 關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由已知可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；

（2）求出AB的斜率，得到直線l的斜率，設(shè)直線l的方程為yx+m，E（x1，y1），F（x2，y2），則G（﹣x1，y1），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式證明CF∥AG．

（1）由題意可得，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝1，

（2）由（1）可得A（0，1），B（﹣2，0），C（2，0），

∵直線l∥AB，∴kl＝kAB，

不妨設(shè)直線l的方程為yx+m，

設(shè)，，則，

， ，

由，得：，得：，

因?yàn)椋?/span>）

=

所以， ，

即 ，

所以， ．