Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
（1）證明：

a

⊥

b

；
（2）若存在不同時為零的實數k和g，使

x

=

a

+（g²-3）

b

，

y

=-k

a

+g

b

，且

x

⊥

y

，試求函數關系式k=f（g）；
（3）椐（2）的結論，討論關于g的方程f（g）-k=0的解的情況．

Answer 1

分析：（1）欲證

a

⊥

b

，只需證明兩個向量的數量積等于0即可，用向量數量積的坐標運算計算．
（2）因為

x

⊥

y

，所以

x

•

y

=0，就可得到含k，g的式子，把k用g表示，化簡即為函數k=f（g）的關系式．
（3）由（2）得，

1

4

g(g2-3)-k=0，所以要判斷方程的解的情況，即判斷曲線f(g)=

1

4

g(g2-3)與直線y=k的交
點個數的情況，利用導數求函數f（g）的極值，由函數的極值畫出函數的大致圖象，通過圖象討論，曲線f(g)=

1

4

g(g2-3)與直線y=k的交點個數，即得關于g的方程f（g）-k=0的解的情況．

解答：解：（1）∵

a

•

b

= 

3

×

1

2

+(-1)×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

．
（2）∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即（

a

+（g²-3）

b

）•（-k

a

+g

b

）=0．
整理得：-k

a

²+[g-k（g²-3）]

a

•

b

+g（g²-3）•

b

²=0．
∵

a

•

b

=0，

a

²=4，

b

²=1，∴上式化為-4k+g（g²-3）=0⇒k=

1

4

g(g2-3)
（3）討論方程

1

4

g(g2-3)=k的解的情況，可以看作曲線f(g)=

1

4

g(g2-3)與直線y=k的交
點個數.f′(g)=

3

4

g2-

3

4

，令f'（g）═0，解得g₁=1，g₂=-1，當g變化時，f'（g）、f（g）
的變化情況如下表：

當g=-1時，f（g）有極大值

1

2

，當g=1時，f（g）有極小值-

1

2

，
而f(g)=

1

4

g(g2-3)=0時，得：g=-

3

，0，

3

，
可得：f（g）的大致圖象（如右圖）．
于是當k＞

1

2

或k＜-

1

2

時，直線與曲線有且僅有一個交點，則方程有一解：
當k=

1

2

或k=-

1

2

時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；
 當k=0時，直線與曲線有三個交點，但k、g不同時為零，故此時也有二解； 
當?-

1

2

＜k＜0或0＜k＜

1

2

時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解．

點評：本題主要考查了向量垂直的充要條件的應用，以及利用導數求函數的極值，借助極值判斷方程解的個數，屬于綜合題．