Question

已知函數在點處的切線方程為

(1)求函數的解析式；

(2)若對于區間[－2,2]上任意兩個自變量的值都有求實數c的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x³－3x.  (2) c的最小值為4.

【解析】

試題分析：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx－3.

根據題意，得

即 解得

所以f(x)＝x³－3x. 

(2)令f′(x)＝0，即3x²－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1,1)	1	(1,2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	?	極大值	?	極小值	?	2

因為f(－1)＝2，f(1)＝－2，

所以當x∈[－2,2]時，f(x)_max＝2，f(x)_min＝－2.

（ 需列表格或者說明單調性，否則扣2分）

則對于區間[－2,2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f(x)_max－f(x)_min|＝4，

所以c≥4.即c的最小值為4.

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值，待定系數法。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，首先利用待定系數法，求得函數解析式，為進一步解題奠定了基礎。利用“表解法”寫出函數單調性、極值，直觀明了。