Question

已知函數在點處的切線方程為，且對任意的，恒成立.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求實數的最小值；

（Ⅲ）求證：（）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ） 

（Ⅲ）先證，累加即得.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴① 

，∴②  

聯立，解得∴                                

（Ⅱ），∴在上恒成立；

即在恒成立；         

設，，

∴只需證對于任意的有                 

設，

1）當，即時，，∴

在單調遞增，∴                 

2）當，即時，設是方程的兩根且

由，可知，分析題意可知當時對任意有；

∴，∴                              

綜上分析，實數的最小值為.                             

（Ⅲ）令，有即在恒成立；

令，得        

∴原不等式得證.  

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；函數解析式的求解及常用方法；不等式的證明．

點評：本題考查了利用導數研究函數的切線方程問題，在曲線上某點處的切線的斜率就是該點的導數值，考查了導數在最大值和最小值中的應用，體現了數學轉化思想和分類討論的數學思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項相消，此題屬難度較大的題目．