Question

【題目】如圖所示，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上運動，設平面與平面所成銳二面角為，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過證明．，轉化證明平面，然后推出平面；

（2）建立空間直角坐標系，設，求出相關點的坐標，求出平面的一個法向量，令，由題意可得平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，即可求的取值范圍．

（1）證明：設，

∵，，∴，

∴，

∴，則.

∵四邊形為矩形，∴，

而平面，且，∴平面.

∵，∴平面.

（2）以為坐標原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

令，則，，，，

所以，，

設為平面的一個法向量，

由，得，

取，所以，

因為是平面的一個法向量.

所以.

因為，所以當時，有最小值，

當時，有最大值，所以.