Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：直線平分線段.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）利用，得到，然后代入點(diǎn)即可求解

（2）設(shè)直線，以斜率為核心參數(shù)，與橢圓聯(lián)立方程，把兩點(diǎn)全部用參數(shù)表示，得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，然后再求出直線的方程，代入的中點(diǎn)即可證明成立

（1）由得，所以

由點(diǎn)在橢圓上得解得，

所求橢圓方程為

（2）解法一：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線平分線段成立

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立方程得，消去得

因?yàn)?/span>過焦點(diǎn)，所以恒成立，設(shè)，，

則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為

直線方程為，，可得，

所以直線方程為，

滿足直線方程，即平分線段

綜上所述，直線平分線段

（2）解法二：因?yàn)橹本�與有交點(diǎn)，所以直線的斜率不能為0，

可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立方程得，消去得

因?yàn)?/span>過焦點(diǎn)，所以恒成立，設(shè)，，

，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為

直線方程為，，由題可得，

所以直線方程為，

滿足直線方程，即平分線段

綜上所述，直線平分線段