Question

如圖，直線y=x+b與橢圓

x2

4

+y²=1交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P（m，n）為弦AB的中點(diǎn)，且m+n=3，求b的值；
（2）記△AOB的面積為S，當(dāng)S=1時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法求出k=

y1-y2

x1-x2

=-

2m

8n

=1，從而求出P（4，-1），代入直線y=x+b，求出b．
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=x+b

，得5x²+8bx+4b²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)P（m，n）為弦AB的中點(diǎn)，且m+n=3，①
∴x₁+x₂=2m，y₁+y₂=2n，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

4

+y²=1，得：

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
兩式相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2m（x₁-x₂）+8n（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

2m

8n

=1，
∴m=-4n，②
由①②，得m=4，n=-1，
∴P（4，-1），代入直線y=x+b，得-1=4+b，
解得b=-5．
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=x+b

，得5x²+8bx+4b²-4=0，
x1+x2=-

8b

5

，x₁x₂=

4b2-4

5

，
∴|AB|=

2

•

(- 8b 5 )2-4× 4b2-4 5

=

4 2

5

5-b2

，
原點(diǎn)O（0，0）到直線y=x+b的距離d=

|b|

2

，
∵△AOB的面積S=1，
∴

1

2

×

|b|

2

×

4 2

5

5-b2

=1，
解得b=±

10

2

，
∴直線AB的方程為y=x±

10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．