Question

數列{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數列．   
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令數列{b_n}滿足b_n=lna_3n+1，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求：

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先根據條件建立關系式，進一步求出數列的通項公式．
（2）根據（1）的結論求出相關的通項公式，進一步利用裂項相消法求數列的和．

解答： 解：S_n為數列{a_n}的前n項和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數列．
則：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a2+4) 2 =3a2

解得：a₂=2
設等比數列的公比為q
則：

2

q

+2+2q=7
解得：q=2或

1

2

由于q＞1
故q=2
所以：an=2n-1
（2）令數列{b_n}滿足b_n=lna_3n+1，
bn=ln23n=3nln2
由于b_n+1-b_n=3ln2
所以{b_n}是等差數列．
記數列{b_n}的前n項和為Tn=

n(b1+bn)

2

=

3n(n+1)ln2

2

所以：

ln2

Tn

=

ln2

3n(n+1)ln2 2

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
Sn=

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

3n+3

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，數列的求和．屬于基礎題型