Question

已知數列和滿足.若為等比數列，且
（1）求與；
（2）設。記數列的前項和為.
（i）求；
（ii）求正整數，使得對任意，均有．

Answer 1

（1），；（2）（i）；（ii）．

試題分析：（1）求與得通項公式，由已知得，再由已知得，，又因為數列為等比數列，即可寫出數列的通項公式為，由數列的通項公式及，可得數列的通項公式為，；（2）（i）求數列的前項和，首先求數列的通項公式，由，將，代入整理得，利用等比數列求和公式，即可得數列的前項和；（ii）求正整數，使得對任意，均有，即求數列的最大項，即求數列得正數項，由數列的通項公式，可判斷出，當時，，從而可得對任意恒有，即．
（1）由題意，，，知，又有，得公比（舍去），所以數列的通項公式為，所以，故數列的通項公式為，；
（2）（i）由（1）知，，所以；
（ii）因為；當時，，而，得，所以當時，，綜上對任意恒有，故．
點評：本題主要考查等差數列與等比的列得概念，通項公式，求和公式，不等式性質等基礎知識，同時考查運算求解能力．