Question

已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a），
（1）若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數a的值，并求出切線方程；
（2）若a=

2

，過點M的圓的兩條弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

Answer 1

（1）由條件知點M在圓O上，
∴1+a²=4
∴a=±

3

當a=

3

時，點M為（1，

3

），k_OM=

3

，k切線=-

3

3

此時切線方程為：y-

3

=-

3

3

（x-1）
即：x+

3

y-4=0
當a=-

3

時，點M為（1，-

3

），k_OM=-

3

，k切線=

3

3

此時切線方程為：y+

3

=

3

3

（x-1）
即：x-

3

y-4=0
∴所求的切線方程為：x+

3

y-4=0或即：x-

3

y-4=0
（2）當AC的斜率為0或不存在時，可求得AC+BD=2（

2

+

3

）
當AC的斜率存在且不為0時，
設直線AC的方程為y-

2

=k（x-1），
直線BD的方程為y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦長公式l=2

r2-d2

可得：AC=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

BD=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

∵AC²+BD²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2

10

即AC+BD的最大值為2

10