Question

【題目】已知函數f（x）=.

（I）求f（x）在區間[1，a]（a>1）上的最小值；

（II）若關于x的不等式f2（x）+mf（x）>0只有兩個整數解，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】.（1）當1<a≤2時，f（x）的最小值為f（1）=ln2；當a>2，f（x）的最小值為f（a）=；（2）（-ln2，-ln6]

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；利用函數的單調性求出極值，與區間端點值的函數值比較大小可得結果；（2）時，整數解有無數多個，不合題意時，整數解有無數多個，不合題意； 時，不等式有兩整數解，則.

試題解析：（1）f '（x）=，令f '（x）>0得f（x）的遞增區間為（0， ）；

令f '（x）<0得f（x）的遞減區間為（，+），

∵x∈[l，a]，則當1<a≤時，f（x）在[1，a]上為增函數，f（x）的最小值為

f（1）=ln2； . . . . . . . . . . . 3分

當a>時，f（x）在[1， ）上為增函數，在（，a]上為減函數，f（2）==ln2=f（1），

∴若<a≤2，f（x）的最小值為f（1）=ln2，

若a>2，f（x）的最小值為f（a）=，

綜上，當1<a≤2時，f（x）的最小值為f（1）=ln2；

當a>2，f（x）的最小值為f（a）=.

（2）由（1）知，f（x）的遞增區間為（0， ），遞減區間為（，+∞），且在（，+）上ln2x>lne=1>0，又x>0，則f（x）>0. 又f（）=0.

∴m>0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>0或f（x）<-m，而f（x）>0解集為（，+），整數解有無數多個，不合題意；

m=0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）≠0，解集為（0， ）（，+∞），整數解有無數多個，不合題意； . . . . . 10分

m<0時，由不等式f2（x）+mf（x）>0得f（x）>-m或f（x）<0，∵f（x）<0解集為（0， ）無整數解，若不等式f2（x）+mf（x）>0有兩整數解，則f（3）≤-m<f（1）=f（2），

∴-ln2<m≤-ln6

綜上，實數m的取值范圍是（-ln2，-ln6]