Question

已知B是x²+y²=1（y∈[0，1]）上一動點，A（2，0）△ABC是以A為直角頂點的等腰三角形，且A，B，C按順時針方向排列，則動點C的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,直線與圓

分析：由題意，設C（x，y），令B（x₀，y₀），由等腰直角三角形的特征，兩直角邊垂直且相等建立B，C兩點的坐標之間的關系，用點C的坐標，表示出點B的坐標，代入x²+y²=1，整理即可得到點C的軌跡方程．

解答： 解：設C（x，y），令B（x₀，y₀），
∵點A的坐標為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
∴k_AB×k_AC=-1，且AB=AC
∴

y

x-2

×

y0

x0-2

=-1①；
（x-2）²+y²=（x₀-2）²+y₀²   ②
由①得x₀-2=

yy0

x-2

代入②得（x-2）²+y²=（

yy0

x-2

）²+y₀²，
整理得y₀²=（x-2）²，又y₀＞0，x≥2
可得y₀=x-2代入①得

y

x0-2

=-1，解得x₀=2-y，
又點B（x₀，y₀）是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個動點，
所以有（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．
故點C的軌跡方程是（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．
故答案為：（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．

點評：本題考查求軌跡方程，解題的關鍵是理解題意，運用代入法，本題由垂直與線段相等兩個關系建立方程，由于都是符號運算，運算量較大，變形時要嚴謹，不要因為運算出錯，導致解題失敗，由解題過程可以看出，此類題求解規律固定，入手一般是從找等量關系開始，切記！