Question

已知數列{a_n}的前n項之和是S_n，且4S_n=（a_n+1）²，則下列說法正確的是（　　）

• A、數列{a_n}為等差數列
• B、數列{a_n}為等比數列
• C、數列{a_n}為等差或等比數列
• D、數列{a_n}可能既不是等差數列也不是等比數列

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：在原遞推式中用n+1替換得另一遞推式，作差后整理得到（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）=0，得到a_n+1-a_n=0或a_n+1+a_n+2=0，當a_n+1+a_n+2=0時，數列{a_n}可能既不是等差數列也不是等比數列．

解答： 解：由4S_n=（a_n+1）² ①，
取n=1，得4a1=4S1=(a1+1)2，解得a₁=1；
以n+1替換n，得4Sn+1=(an+1+1)2  ②，
②-①得4a_n+1=（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n），整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）=0．
∴a_n+1-a_n=0或a_n+1+a_n+2=0，
當a_n+1+a_n+2=0時，數列{a_n}可能既不是等差數列也不是等比數列．
故選：D．

點評：本題考查了數列遞推式，在利用給出的數列遞推式求數列的通項公式時，常在原遞推式中n-1得另一遞推式，然后作差求解，是中檔題．