Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍;

（Ⅱ）若函數的圖象與直線交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：（為函數的導函數）.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意，知的定義域是，

則，

令，則=0，解得x=1或x=.

∵函數在上單調遞增，

∴ⅰ）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意；

ⅱ）當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，符合題意；

ⅲ）當時，在上單調遞增，符合題意；

ⅳ）當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，∵函數在上單調遞增，∴ ，

綜上所述，的取值范圍是.

（Ⅱ）由題意，得，

∴.

當時，，在上單調遞增，與直線不可能有兩個交點，故．

令，解得；令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減．

不妨設，，且.

要證，需證.即證.

又，所以只需證.

即證：當時，．

設，

則.

∴在上單調遞減.

又，

故當時，，原不等式成立．