Question

已知，直線與函數的圖像都相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1．  
（1）求直線的方程及的值；
（2）若（其中是的導函數），求函數的最大值；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1），m=-2
（2）取得最大值
（3）由（Ⅱ）知：當時，，即，結合單調性來證明。

試題分析：解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數在點處的切線，故其斜率
，所以直線的方程為．又因為直線與的圖像相切，所以由
，
得（不合題意，舍去）； .  4分
（Ⅱ）因為（），所以
．當時，；當時，．
因此，在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，當時，取得最大值； .  8分
（Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有． .  12分
點評：主要是考查了函數的單調性以及不等式的運用，屬于基礎題。