Question

【題目】已知橢圓C： 的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點，與x軸、y軸分別相交于點N和M，且PM=MN，點Q是點P關于x軸的對稱點，QM的延長線交橢圓于點B，過點A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得點N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓C： 的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，

∴由題意得 ，解得a2=4，b2=3，

∴橢圓C的方程為 ．

（2）

解：假設存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣ ，0），

∵PM=MN，∴P（ ，2m），Q（ ），

∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，

設A（x1，y1），由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∴ ，∴ ，

設B（x2，y2），由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，

∴x2+ = ，∴x2=﹣ ，

∵點N平分線段A1B1，∴ ，

∴﹣ =﹣ ，∴k= ，

∴P（±2m，2m），∴ ，解得m= ，

∵|m|= ＜b= ，∴△＞0，符合題意，

∴直線l的方程為y=

【解析】（1）由橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D 在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件，能求出直線l的方程．