Question

【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，其中m＜n，同時滿足：①f（x）在[m，n]內是單調函數；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]． 則稱函數f（x）是區間[m，n]上的“保值函數”，區間[m，n]稱為“保值區間”．
（1）求證：函數g（x）=x2﹣2x不是定義域[0，1]上的“保值函數”．
（2）若函數f（x）=2+ ﹣ （a∈R，a≠0）是區間[m，n]上的“保值函數”，求a的取值范圍．
（3）對（2）中函數f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

x∈[0，1]時，g（x）∈[﹣1，0]，

根據函數g（x）不是定義域[0，1]上的“保值函數”

（2）解：由f（x）的定義域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，

因此m，n是方程2+ ﹣ =x的兩個不相等的實數根，

等價于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有兩個不等的實數根，

即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0

解得a＞ 或a＜﹣

（3）解：a2f（x）=2a2+a﹣ ，則不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，

即﹣2x≤2a2+a﹣ ≤2x即不等式對x≥1恒成立，

令h（x）=2x+ ，易證h（x）在[1，+∞）遞增，

同理g（x）= ﹣2x[1，+∞）遞減，

∴h（x）min=h（1）=3，g（x）max=g（1）=﹣1，

∴ ，

∴﹣ ≤a≤1且a≠0

【解析】（1）根據函數單調性的定義以及“保值函數”的定義判斷即可；（2）由f（x）的定義域和值域都是[m，n]，問題等價于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有兩個不等的實數根，根據根的判別式判斷即可；（3）由不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，令h（x）=2x+ ，易證h（x）在[1，+∞）遞增，同理g（x）= ﹣2x[1，+∞）遞減，求出函數h（x）min ， 與函數g（x）max ， 建立不等關系，解之即可求出a的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．