Question

【題目】（Ⅰ）已知c＞0，關于x的不等式：x+|x-2c|≥2的解集為R．求實數c的取值范圍；

（Ⅱ）若c的最小值為m，又p、q、r是正實數，且滿足p+q+r=3m，求證：p2+q2+r2≥3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[1，+∞）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）由題意只需x+|x﹣2c|的最小值大于等于2即可，解不等式即可得c的范圍；（Ⅱ）由（1）知p+q+r＝3，運用柯西不等式，可得（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2，即可得證．

解：（I）不等式x+|x-2c|≥2的解集為R 函數y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，

∵x+|x-2c|=，∴函數y=x+|x-2c|，在R上的最小值為2c，∴2c≥2c≥1．

所以實數c的取值范圍為[1，+∞）；

（Ⅱ）證明：由（1）知p+q+r=3，又p，q，r是正實數，

所以（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=9，

即p2+q2+r2≥3．當且僅當p=q=r=1等號成立．