Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先確定單調(diào)性，然后求導(dǎo)數(shù)，再通過討論的范圍，確定的符號(hào)，從而確定單調(diào)性.

（2）根據(jù)的單調(diào)性，分別討論當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)性，從而確定在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)以及最值的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>..

當(dāng)時(shí)，即，，在上單調(diào)遞增，

∴在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，則由（1）知

①當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減

，

∴當(dāng)，即，時(shí)，在上恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn).

當(dāng)，即，時(shí)，，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，此時(shí)，在內(nèi)有零點(diǎn)，

∵在內(nèi)單調(diào)遞減，∴此時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

，.

∴當(dāng)，即時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，此時(shí)，在內(nèi)有零點(diǎn).

∵在內(nèi)單調(diào)遞增，∴此時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)，在無零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

∴在上恒成立，∴此時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn).

∴綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在無零點(diǎn).