【題目】如圖，已知點
，點
均在圓
上，且
，過點
作
的平行線分別交
，
于
兩點.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）過點
的動直線
與點的軌跡交于
兩點．問是否存在常數
，使得
點為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
；（2）存在常數
符合題意，理由詳見解析.
【解析】
（1）由平面幾何的相關性質可得
，則
，即點
的軌跡是以
為焦點的橢圓，再求出橢圓的標準方程即可；
（2）當直線
的斜率存在時，設
，
，
，聯立直線方程與橢圓方程，消元列出韋達定理，則
代入計算可得
的值，再計算斜率不存在時的值，即可得解；
解：（1）由
，得
，
由
，得
，所以
.
由
，知
，
所以
，即，
所以，
所以點的軌跡是以為焦點的橢圓.
這里
，
，所以
，
，
則點的軌跡方程為：.
（2）當直線與
軸不垂直時，設，，，
聯立
得
，
其判別式
，
所以
，
，
，
所以當時，
，
此時
為定值.
當直線的斜率不存在時，.
綜上，存在常數，使得
為定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知斜率為1的直線
與橢圓
交于
，
兩點，且線段
的中點為
，橢圓
的上頂點為
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線
與橢圓交于
兩點，若直線
與
的斜率之和為2，證明：
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為拋物線
的焦點，點
在拋物線
上，過點
的直線交拋物線于
兩點，線段
的中點為
，且滿足
．
（1）若直線的斜率為1，求點的坐標；
（2）若
，求四邊形
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲和乙兩個人計劃周末參加志愿者活動，約定在周日早上8:00至8:30之間到某公交站搭乘公交車一起去，已知在這段時間內，共有
班公交車到達該站，到站的時間分別為8:05，8:15，8:30，如果他們約定見車就搭乘，則甲和乙兩個人恰好能搭乘同一班公交車去的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點
，
，
是橢圓
上的動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
是橢圓的左、右頂點，直線
與橢圓在點
處的切線交于點
，當點在橢圓上運動時，求證：以
為直徑的圓與直線
恒相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
為坐標原點，橢圓
的左，右焦點分別為
，離心率為
，雙曲線
的左，右焦點分別為
，
，離心率為
，已知
，
．
（1）求
，
的方程；
（2）過
作的不垂直于
軸的弦
，
為弦的中點，當直線
與交于
，
兩點時，求四邊形
面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的兩個焦點為
,
,焦距為
,直線
:
與橢圓相交于
,
兩點,
為弦
的中點.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）若直線:
與橢圓相交于不同的兩點
,
,
,若
（
為坐標原點）,求
的取值范圍.
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