Question

直三棱柱ABC-EFG所有頂點在半徑為

2

的球面上，AB=AC=

3

，AE=2，B-AE-C余弦為（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離

分析：根據條件求出AE=BE=CE=1，根據二面角的定義求出二面角的平面角，即可得到結論

解答： 解：如圖

∵直三棱柱ABC-EFG的所有頂點都在半徑為

2

的球面上，
∴球心O位于高的中點上，
∵AE=2，AO=

2

，
∴OM=1，AM=

OA2-OM2

=1，
同理MC=MB=1，即O在平面ABC的射影M為三角形ABC的外心，
∵AB=AC=

3

，
∴cosBAM=

AB2+AM2-BM2

2AB×AM

=

3+1-1

2 3 ×1

=

3

2

，
則∠BAM=

π

6

，同理∠CAM=

π

6

，
則∠BAC=

π

3

，
則∠BAC是二面角B-AE-C的平面角，
則cos∠BAC=cos

π

3

=

1

2

；
故選D．

點評：本題主要考查三棱柱中二面角的求法，首先根據二面角的定義找出二面角的平面角，然后計算大小，屬于中檔題．