Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，點E，F分別是
CC₁，BB₁上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2．
（1）當點M在何位置時，BM∥平面AEF；
（2）當點M在AC中點時，求 異面直線BM與EF所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）因為EC=2FB，所以容易想到取EC中點N，并且使M是AC中點，連接MN，BN，便可得到MN∥AE，BN∥EF，所以根據線面平行和面面平行的判定定理即可得出平面BMN∥平面AEF，所以得到BM∥平面AEF．所以便得出當M在AC中點時，BM∥平面AEF．
（2）由（1）可得異面直線BM與EF所成的角為∠MBN，利用余弦定理求它的余弦值．

解答： （1）解：M為AC中點時BM∥平面AEF，證明如下：
如圖，取EC的中點N，連接MN，BN；

∵M、N分別為AC、EC中點，∴MN∥AE，AE?平面AEF，MN?平面AEF；
∴MN∥平面AEF；
∵EC=2FB，∴EN=FB，且EN∥FB；
∴四邊形BFEN為平行四邊形，∴BN∥EF，EF?平面AEF，BN?平面AEF；
∴BN∥平面AEF，MN∩BN=N；
∴平面BMN∥平面AEF，BM?平面BMN；
∴BM∥平面AEF．
（2）由（1）得異面直線BM與EF所成的角為∠MBN，
其中BM=

3

，BN=

BC2+CN2

=

5

，CM=1，MN=

2

，
所以cos∠MBN=

BM2+BN2-NM2

2BM×BN

=

3+5-2

2 3 × 5

=

15

5

；
所以異面直線BM與EF所成的角的余弦值

15

5

；------（12分）

點評：本題考查了直三棱柱中線面平行的判定以及異面直線所成的角的求法，重點體現了轉化的思想，經常考查．