Question

已知向量

a

=(sinx ， 1)，

b

=(1 ， cosx)．
（1）求滿足

a

⊥

b

的實數(shù)x的集合；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=|

a

+

b

|2，求f（x）在x∈[-

π

2

 ， 

π

2

]時的值域．

Answer 1

分析：（1）若

a

=（a，b），

b

=（m，n），則

a

⊥

b

?

a

•

b

=0，由此列方程，利用特殊角三角函數(shù)值可求出x的集合；
（2）由公式：若

a

=（a，b），則|

a

|2=a²+b²，及三角函數(shù)的有關(guān)公式，先把函數(shù)f（x）化簡為正弦型函數(shù)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求f（x）的值域．

解答：解：（1）由

a

⊥

b

得，sinx+cosx=0，∴tanx=-1，∴x=kπ+

3π

4

，k∈Z．
所以x的集合是{x|x=kπ+

3π

4

， k∈Z}．
（2）f(x)=|

a

+

b

|2=(sinx+1)2+(cosx+1)2=sin2x+cos2x+2(sinx+cosx)+2
=2（sinx+cosx）+3=2

2

sin(x+

π

4

)+3．
因為x∈[-

π

2

 ， 

π

2

]，所以x+

π

4

∈[-

π

4

 ， 

3π

4

]，
所以sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

 ， 1]，
所以函數(shù)f（x）的值域為[1 ， 3+2

2

]．

點評：三角函數(shù)問題的解決：一般要利用三角函數(shù)的有關(guān)公式，先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函數(shù)），然后根據(jù)正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）的性質(zhì)解決問題．