Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，M、N分別是側棱PA和底面BC邊的中點，O是底面?ABCD對角線AC的中點，求證：過O、M、N三點的平面與側面PCD平行．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：推理和證明

分析：利用三角形的中位線定理易證MO

∥

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PC，ON

∥

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AB，再由線面平行的判定定理證得MO∥平面PCD，ON∥平面PCD，最后利用面面平行的判定定理即可證得結論成立．

解答： 證明：∵M、O分別為PA和底面AC邊的中點，
∴MO是△PAO的中位線，
∴MO

∥

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PC，
又MO?平面PCD，PC?平面PCD，
∴MO∥平面PCD；①
又N是底面BC邊的中點，ON是△ABO的中位線，ON

∥

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AB，底面ABCD為平行四邊形，AB

∥

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CD，
∴ON

∥

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CD，同理可證，ON∥平面PCD；②
又OM∩ON=O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，③
由①②③得：平面OMN∥平面PCD（面面平行的判定定理）．

點評：本題考查平面與平面平行的判定，考查三角形的中位線定理與線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，考查推理能力，考查轉化思想．