Question

【題目】已知橢圓 + =1兩焦點分別為F1、F2 ， P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足 =1，過P作兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標(biāo)；
（2）若直線AB的斜率為 ，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：c= ，則F1（0， ），F(xiàn)2（0，﹣ ），設(shè)P（x0，y0）

則 =（﹣x0， ﹣y0）， =（﹣x0，﹣ ﹣y0），

由 =1，得：x02﹣2+y02=1x02+y02=3

又2x02+y02=4，x0，y0＞0，

∴ ，即所求P（1， ）

（2）解：設(shè)AB方程為：y= +m，由 ，可得4x2+2 mx+m2﹣4=0，△=8m2﹣18m2+64＞0，解得﹣2 ，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2= ，x1x2= ，

|AB|= = ．P到AB的距離為d= ，

則 = = = 當(dāng)且僅當(dāng)m=±2∈（﹣2 ）時取得最大值．

△PAB面積的最大值為：

【解析】（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，則可分別表示出向量，通過向量的數(shù)量積，求得x0和y0的關(guān)系，同時根據(jù)橢圓的方程，求得x0和y0即P的坐標(biāo)．（2）設(shè)出直線的方程聯(lián)立橢圓方程，可求出AB的距離，得到直線AB的距離，利用三角形的面積公式，通過基本不等式求解最值即可．