Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點．

（1）求和平面所成的角的大小．

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）推導出．又，從而平面．進而為和平面所成的角，由此能示出和平面所成的角的大小．

（2）推導出，從而平面，進而平面．過點作，垂足為，連接，則是二面角的平面角．由此能求出二面角的正弦值．

解：（1）在四棱錐中，∵平面，平面，

∴．又，，∴平面．

故在平面內的射影為，從而為和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小為．

（2）在四棱錐中，∵平面，平面，∴．

由條件，，∴平面．

又∵平面，∴．由，，可得．

∵是的中點，∴．又∵，∴平面．

過點作，垂足為，連接，如圖所示．

∵平面，在平面內的射影是，

∴．∴是二面角的平面角．

由已知∵，∴設，

則，，，．

中，．

在中，∵，∴，得．

在中，．

所以二面角的正弦值為．