Question

【題目】下列四個命題中，真命題的個數是 （　　）

①命題：“已知 ，“”是“”的充分不必要條件”；

②命題：“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；

③命題：已知冪函數的圖象經過點（2，），則f（4）的值等于；

④命題：若，則．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

命題①單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足“a2+b2≥1”，從而判斷命題的真假性；

命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；

命題③直接把點的坐標代入冪函數求出α，然后把x＝4代入求值即可；

命題④構造函數f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用導數判斷函數的單調性，從而判斷命題的真假性；

命題①如圖在單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，故命題①正確；

命題②“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q都為真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q為真”.所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；

命題③由冪函數f（x）＝xα的圖象經過點（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以冪函數為f（x）＝ ，所以f（4）＝，所以命題③正確；

命題④若x+lnx＞1，則x﹣1+lnx＞0，設f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，

∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）＝0，

∴f（x）＞0時x＞1，即x+lnx＞1時x＞1，所以命題④正確.

故選：C