Question

【題目】如圖所示，已知正三棱錐，為中點(diǎn)，過點(diǎn)作截面交，分別于點(diǎn)，，且，分別為，的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）在正三棱錐S﹣ABC中，由D為BC中點(diǎn)，可得BC⊥AD，且BC⊥SD，再由線面垂直的判定可得BC⊥平面SAD，由E，F(xiàn)分別為SB，SC的中點(diǎn)，可得EF∥BC，

則EF⊥平面SAD；

（2）在正三角形ABC中，由AB=2，求得AD，在等腰三角形SBC中，由已知求得SD，進(jìn)一步求出正三棱錐的高，然后利用等積法求三棱錐S﹣AEF的體積．

詳解：（1）證明：∵為中點(diǎn)，∴，

∵，∴平面，

又∵，分別為，的中點(diǎn)，

∴，

∴平面．

（2）解：在中，，，故（為底面中心），

又由．