Question

（本小題滿分14分）已知橢圓兩焦點分別為、,是橢圓在第一象限弧上的一點，并滿足,過點作傾斜角互補的兩條直線、分別交橢圓于、兩點.
（1）求點坐標；
（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該定值；
（3）求△面積的最大值.

Answer 1

（1）點P的坐標為
（2）直線AB斜率為定值，值為.
（3）△PAB面積的最大值為.

解：（1）由題可得
則
           ①
在曲線上，則  ②
由①②得，則點P的坐標為 ………（4分）
（2）設直線PA斜率K，則直線PB斜率-K，設，
則直線與橢圓方程聯立得：

由韋達定理：
同理求得


綜上，直線AB斜率為定值，值為.     …………（9分）
（3）設AB的直線方程：
由 ，得
由
P到AB的距離為,
則

當且僅當時取等號，
△PAB面積的最大值為.   …………（14分）