Question

已知⊙C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被⊙C截得弦AB，以AB為直徑的圓經過原點.若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

方法一：假設存在這樣的直線l，且設為y＝x＋m.

⊙C化為(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圓心C(1，－2)，則AB中點N是直線x－y＋m＝0與y＋2＝－(x－1)的交點，即N(－，)，

因為以AB為直徑的圓過原點，所以|AN|＝|ON|.

又CN⊥AB，|CN|＝.

所以|AN|＝＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|得m＝1或m＝－4.

所以存在符合條件的直線l，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

方法二：設這樣的直線存在，其方程為y＝x＋b，它與圓C的交點設為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則由

得2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

所以，

所以y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b².

由OA⊥OB得x₁x₂＋y₁y₂＝0，

所以2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝0，

即b²＋4b－4－b(b＋1)＋b²＝0，整理得b²＋3b－4＝0，

所以b＝1或b＝－4.

所以存在符合條件的直線l，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.