Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ +lnx，a∈R． （Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數(shù)g（x）=f'（x）﹣x的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x+ +lnx（x＞0）， f′（x）=1﹣ + = ，
f（x）在x=1處取得極小值，
即有f′（1）=0，解得a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值．
則有a=2；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x＞0，
f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，
即為f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
即a≤x2+x在區(qū)間（1，2）上恒成立，
由x2+x∈（2，6），
則a≤2；
（Ⅲ）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣ + ﹣x，x＞0，
令g（x）=0，則a=﹣x3+x2+x，
令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，
則h′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），
當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）遞減．
即有h（x）的最大值為h（1）=1，
則當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；
當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有一個零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，即可解得a，注意檢驗(yàn)；（Ⅱ）由條件可得，f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍；（Ⅲ）令g（x）=0，則a=﹣x3+x2+x，令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最值，結(jié)合圖象對a討論，即可判斷零點(diǎn)的個數(shù)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．