Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，，：

（1）求證：平面；

（2）現將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析：（2）4種不同的拼接方案，f（k）

【解析】

（1）取DC的中點E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．

（2）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．通過比較即可得出f（k）．

（1）證明：取DC的中點E，連接BE，∵AB∥ED，AB＝ED＝3k，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE∥AD，且BE＝AD＝4k，∴BE2+EC2＝（4k）2+（3k）2＝（5k）2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵側棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1．

（2）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

通過比較即可得出f（k）．