Question

【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形中，面積最大為1.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與橢圓的交于兩點，為坐標原點，且，證明：直線與圓相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓上點為短軸端點時所給三角形面積最大可得，結合離心率和橢圓的關系，構造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）①當的斜率存在時，設方程與橢圓方程聯立，得到韋達定理的形式；利用垂直關系可得向量數量積等于零，代入韋達定理的結論整理可得；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離，代入可求得；②當的斜率不存在時，可求得方程，易知其與圓相切；綜合兩種情況可得結論.

（1）橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形中，面積最大時橢圓上的點為短軸端點

，又，

橢圓的標準方程為

（2）設，

①當的斜率存在時，設

由得：

則，

又

，即滿足

到直線的距離

又圓的半徑

直線與圓相切

②當的斜率不存在時，所在的兩條直線分別為

與橢圓方程聯立可求得交點橫坐標為或

可得到所在的直線為：或

直線與圓相切

綜上所述：當時，直線與圓相切