Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；

（Ⅱ）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）先求出函數的增區間為， 應為其子集，故可求實數的范圍.

（Ⅱ）方程在上有兩個實數根可以轉化為直線與函數的圖像有兩個不同的交點，利用導數刻畫的圖像后可以得到實數的取值范圍.

詳解：（Ⅰ） ，

因為為正實數，由定義域知，所以函數的單調遞增區間為.

因為函數在上為增函數，所以，所以.

（Ⅱ）因為方程在區間內恰有兩個相異的實根，故

方程在區間內恰有兩個相異的實根即

方程在區間內恰有兩個相異的實根.

令，則，

當時， ， 在為減函數；

當時， ， 在為增函數.

的圖像如圖所示：

要使函數的圖象與函數的圖象在區間內恰有兩個交點，則要滿足，所以的取值范圍為.