Question

【題目】如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點，且平面平面ABCD．

證明：平面PNB；

設點E是棱PA上一點，若平面DEM，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）推導出BM＝AN，CM⊥BN，PN⊥AD，從而PN⊥平面ABCD，進而CM⊥PN，由此能證明CM⊥平面PNB；

（2）連結AC，交DM于點Q，連結EQ，推導出PC∥EQ，從而PE：EA＝CQ：QA，由此能求出的值．

證明：（1）在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點，

∴BM＝AN，BC＝AB，∠MBC＝∠NAB＝90°，

∴△MBC≌△NAB，∴∠BCM＝∠NAB，

又∠NBA+∠BMC＝90°，∴∠NBA+∠BMC＝90°，

∴CM⊥BN，

∵△PAD為等邊三角形，N是AD的中點，

∴PN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，PN平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PN⊥平面ABCD，

又CM平面ABCD，∴CM⊥PN，

∵BN，PN平面PNB，BN∩PN＝N，

∴CM⊥平面PNB．

解：（2）連結AC，交DM于點Q，連結EQ，

∵PC∥平面DEM，PC平面PAC，平面PAC∩平面DEM＝EQ，

∴PC∥EQ，

∴PE：EA＝CQ：QA，

在正方形ABCD中，AM∥CD，且CD＝2AM，

∴CQ：QA＝CD：AM＝2，

∴2．