Question

下列命題中：
①若集合A={x|kx²+4x+4=0}中只有一個元素，則k=1；
②已知函數y=f（3^x）的定義域為[-1，1]，則函數y=f（x）的定義域為（-∞，0）；
③函數y=

1

1-x

在（-∞，0）上是增函數；
④方程2^|x|=log₂（x+2）+1的實根的個數是2．
所有正確命題的序號是

 

（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,函數的性質及應用,集合

分析：當k=0時，A={-1}，即可判斷①；
由函數的定義域的定義，以及指數函數的單調性即可解得f（x）的定義域，即可判斷②；
通過函數y=

-1

x

的圖象的平移和單調性即可判斷③；
運用函數與方程的轉換，作出函數的圖象，通過觀察即可判斷方程根的個數，即可判斷④．

解答： 解：對于①，當k=0時，A={-1}，也符合題意，則①錯；
對于②，函數y=f（3^x）的定義域為[-1，1]，即有-1≤x≤1，則

1

3

≤3x≤3，
則y=f（x）的定義域應該是[

1

3

，3]，則②錯；
對于③，y=

1

1-x

的圖象可由函數y=

-1

x

的圖象向右平移1個單位得到，
由于y=

-1

x

在（-∞，0）遞增，則y=

1

1-x

在（-∞，1）遞增，則③對；
對于④，在同一坐標系中作出y=2^|x|，y=log₂（x+2）+1的圖象，
由圖可知有兩個交點．故方程的實根的個數為2．則④對．
故答案：③④．

點評：本題考查函數的定義域的求法和單調性的判斷，以及函數與方程的轉化思想，考查集合的化簡，屬于基礎題和易錯題．