Question

已知兩圓C₁：x²+y²=4，C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，直線l：x+2y=0，
（1）求經過圓C₁、C₂的交點且和直線l相切的圓的方程；
（2）若實數x，y滿足（1）中所求圓的方程，求

y

x

的最大值，2y-x的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）聯立方程組求得兩個圓的交點，設圓心的坐標為M（a，b），則由MA=MB，還等于M到直線直線l：x+2y=0的距離求得a、b的值，可得圓心和半徑MA，從而求得圓的方程．
（2）分別設k=

y

x

，2y-x=b，利用到直線和圓相切時得到最值即可得到結論．

解答： 解：（1）由

x2+y2=4 x2+y2-2x-4y+4=0

解得

x=0 y=2

或

x= 8 5 y= 6 5

，
故兩個圓的交點為A（0，2）、B（

8

5

，

6

5

），
設圓心的坐標為M（a，b），則由MA=MB，還等于M到直線直線l：x+2y=0的距離．
可得

a2+(b-2)2

=

(a- 8 5 )2+(b- 6 5 )2

=

|a+2b|

5

，
解得a=

1

2

，b=1，
故半徑MA=

5 4

=

5

2

，
故要求的圓的方程為（x-

1

2

）²+（y-1）²=

5

4

．
（2）設k=

y

x

，則直線方程為kx-y=0，
當直線和圓相切時，
則圓心（

1

2

，1）到直線的距離d=R，
即d=

| 1 2 k-1|

1+k2

=

5

2

，即|k-2|=

5

•

1+k2

，
解得k=-

1

2

，
設2y-x=b，則直線方程為x-2y+b=0，
當直線和圓相切時，則圓心（

1

2

，1）到直線的距離d=R，
則d=

| 1 2 -2+b|

5

=

5

2

，
即|b-

3

2

|=

5

2

，
解得b=4或b=-1，
故2y-x的最小值為-1．

點評：本題主要考查圓的方程的求解，以及利用直線和圓相切的位置關系求參數問題．綜合考查圓的性質．