Question

成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：數列{S_n+

5

4

}是等比數列．

Answer 1

分析：（I）利用成等差數列的三個正數的和等于15可設三個數分別為5-d，5+d，代入等比數列中可求d，進一步可求數列{b_n}的通項公式
（II）根據（I）及等比數列的前 n項和公式可求S_n，要證數列{S_n+

5

4

}是等比數列?

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=q≠0即可．

解答：解：（I）設成等差數列的三個正數分別為a-d，a，a+d
依題意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的依次為7-d，10，18+d
依題意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3項為5，公比為2
由b₃=b₁•2²，即5=4b₁，解得b1=

5

4

所以{b_n}是以

5

4

首項，2為公比的等比數列，通項公式為bn=

5

4

•2n-1
（II）數列{b_n}的前和Sn=

5 4 (1-2n)

1- 2

=

5

4

•2n-

5

4

即Sn+

5

4

=

5•2n

4

，所以S1+

5

4

=

5

2

，

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=

5•2n-1

5•2n-2

=2
因此{Sn+

5

4

}是以

5

2

為首項，公比為2的等比數列

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列及前n和公式等基礎知識，同時考查基本運算能力