Question

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為數列．對于數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁（約定：一個數也視作數列）．若A₁還是數列，可繼續實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k．
（Ⅰ）設A：0，，…請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：-，-，-，-，，，，，，…求A₉的可能結果，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接按定義來操作，每次取兩個數代入計算即可求出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）先通過作差得到每次操作后新數列仍是T數列；再根據每次操作中都是增加一項，刪除兩項即可得到結論；
（Ⅲ）先定義運算：a⊙b=，并證明這種運算滿足交換律和結合律；再結合（Ⅱ）可知A₉中僅有一項，再按定義先求出A₅，綜合即可得到A₉的可能結果．
解答：解：（Ⅰ）直接按定義來操作，當取0，時代入計算可得：，；
當取0，時可得A₁：，；
當取，時，可得A₁：0，．
故有如下的三種可能結果：，；A₁：，；A₁：0，．…（3分）
（Ⅱ）因為對?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
0且
所以{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新數列仍是T數列．
又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，
所以對T數列A每操作一次，項數就減少一項，
所以對n項的T數列A可進行（n-1）次操作（最后只剩下一項）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項．
對于滿足a，b∈{x|-1＜x＜1}的實數a，b定義運算：a⊙b=，
下面證明這種運算滿足交換律和結合律．
因為a⊙b=，且b⊙a=，所以a⊙b=b⊙a，即該運算滿足交換律；
因為a⊙（b⊙c）=a⊙=
且（a⊙b）⊙c=c=
所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即該運算滿足結合律．
所以A₉中的項與實施的具體操作過程無關   …．…．（12分）
選擇如下操作過程求A₉：
由（Ⅰ）可知⊙=；
易知-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0；
所以A₅：，0，0，0，0．；
易知A₅經過4次操作后剩下一項為．
綜上可知：A₉：．…（14分）
點評：本題是一道綜合性很強的題，解題時要認真審題，理解定義，并會用新定義來解題，仔細解答，避免錯誤．