Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求b和c；
（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ，解得：sinA= ，∵ ，可得：bccosA=﹣1＜0，可得：cosA=﹣ =﹣ ，
解得：bc=3，①
又∵ ，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得8=b2+c2+2，
∴解得：b2+c2=6，可得：（b+c）2﹣2bc=（b+c）2﹣6=6，解得：b+c=2 ，②
∴聯立①②解得：b=c= ．
（Ⅱ）∵ ，b=c= ，sinA= ，
∴sinB= = ，cosB= = ，
∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= ﹣（﹣ ）× =
【解析】（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數公式可求sinA，利用平面向量數量積的運算bccosA=﹣1＜0，根據同角三角函數基本關系式可得cosA，bc=3，又由余弦定理解得：b+c=2 ，聯立即可解得b，c的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用正弦定理可求sinB，利用同角三角函數基本關系式可求cosB，利用兩角差的正弦函數公式即可計算得解．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．