Question

【題目】數列各項均不為0，前n項和為，，的前n項和為，且

（1）若數列共3項，求所有滿足要求的數列；

（2）求證：是滿足已知條件的一個數列；

（3）請構造出一個滿足已知條件的無窮數列，并使得.

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）證明見解析；

（3）

【解析】

（1）時，，；時，，；時，，，由此能求出符合要求的數列；

（2），即證明，用數學歸納法能證得結論；

（3）由已知得，從而，進而得到，由此能求出結果.

（1）當時，，，解得：或（舍）

當時，，，即，

解得：或，或（舍）

當時，，

當時，，解得：或，或（舍），

當時，，解得：或（舍）

符合要求的數列有：；；

（2），即證明

用數學歸納法證明：

①當時，，成立.

②假設時，成立，即成立

則時，

，也成立

由①②，對于，都有

是滿足已知條件的一個數列

（3）…① …②

②①得：

…③

時，…④

③④得：

或，

構造：